\documentclass{scrartcl}
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\usepackage{multicol}   %Mehrere Spalten
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\usepackage{xcolor}

\begin{document}

\section{Fragebogen zum Mathematischen Vorwissen}

\begin{enumerate}
\item Sei f eine Polynomfunktion. Welche Aussagen sind falsch? Erläutern Sie anhand
eines Beispiels.
\begin{enumerate}
\item Wenn $f'(x_0) = 0$ ist, dann ist $x_0$ eine Extremstelle von $f$.
\item Wenn $x_0$ eine Extremstelle von $f$ ist, dann ist $f'(x_0) = 0$.
\item Ist $f''(x_0) > 0$, so ist der Punkt $P(x_0|f(x_0))$ ein Tiefpunkt des Graphen von $f$.
\end{enumerate}

%\item W%as ist an der folgenden Darstellung falsch?
%$x^2 - 4 \Rightarrow  (x - 2)(x + 2)$

\item Betrachten Sie die beiden LGS:
\begin{equation}
\left \lbrace
\begin{alignedat}{5}
15x &+& 3y &=& 30\\
5x &+& 0,96y &=& 0
\end{alignedat}
\right \rbrace \qquad \text{sowie}
\left \lbrace
\begin{alignedat}{5}
15x &+& 3y &=& 30\\
5x &+& 0,98y &=& 0
\end{alignedat}
\right \rbrace
\end{equation}

\begin{enumerate}
\item Lösen Sie beide lineare Gleichungssysteme.
%\item Vergleichen und interpretieren Sie die beiden Ergebnisse.
\item Skizzieren Sie die 3 beteiligten Geraden.
\item Bei welcher Variation des Koeffzienten vor y in der zweiten Gleichung gibt es gar keine Lösung?
\end{enumerate}

\item Vereinfachen Sie:
\begin{enumerate}
\item $ 0,005 \cdot 100$
\item $\frac{78653}{10^4}$
\item $\left(\frac{a^2\cdot b}{c\cdot d^3}\right)^3 : \left ( \frac{a \cdot b^2}{c^2\cdot d^2}\right )^4$
\end{enumerate}

\item Löse nach $x$
\begin{enumerate}
\item $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$
\item $\frac{1}{x+3}+\frac{1}{x-3}=\frac{6}{x^2-9}$
\item $x^{\frac{3}{4}}\cdot t^2=x^{-4}\cdot y$
\end{enumerate}
Für welche $x$ gilt
\begin{enumerate}[resume]
\item $x^2 - 2x < 3$
\item $|2x - 3| > 5$
\end{enumerate}

\item Ein gleichseitiges Dreieck der Seitenlänge \SI{10}{cm} wird um eine der Symmetrieachsen gedreht. Welches Volumen und welche Oberfläche hat der erzeugte Drehkörper?

\item Einheitskreis

\begin{center}
\begin{tikzpicture}

\begin{axis}[
width=\textwidth,
  axis x line=center,
  axis y line=center,
xmin=-1.2,
xmax=1.2,
ymin=-1.2,
ymax=1.2,
xtick distance = .2,
ytick distance = .2
]

\addplot[black, domain=-1:1,samples=50] {sqrt(1-x^2)};
\addplot[black, domain=-1:1,samples=50] {-sqrt(1-x^2)};


\end{axis}

\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Zeichnen Sie einen Punkt $P$ auf dem Einheitskreis ein, so dass für den zu $P$ gehörenden Winkel $\alpha$ zur $x$-Achse $\sin(\alpha) = 0,6$ ist.\\
Begründen Sie, dass es für $\SI{0}{\degree} \leq \alpha \leq \SI{180}{\degree}$ einen weiteren Punkt mit dieser Eigenschaft gibt.
\item Entnehmen Sie Ihrer Zeichnung einen Näherungswert für $\cos(\alpha)$ und berechnen Sie diesen Wert.
Begründen Sie mithilfe des Einheitskreises, dass es für $\SI{0}{\degree} \leq \alpha \leq\SI{180}{\degree}$ nur einen Punkt $P$ gibt, für den gilt: $\cos(\alpha) = 0,8$.
\item Erläutern Sie, dass für alle Winkel $\alpha$ gilt: $(\sin(\alpha))^2 + (\cos(\alpha))^2 = 1$.
\end{enumerate}

\item
Welche der folgenden Aussagen sind falsch? Geben Sie für die falschen Aussagen ein Gegenbeispiel an.
\begin{enumerate}
\item Eine Polynomfunktion ungeraden Grades hat mindestens eine Nullstelle.
\item Eine Polynomfunktion geraden Grades hat keine Nullstellen.
\item Quadratische Funktionen haben keine Wendestellen.
\item Die Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{x}$  hat die Menge aller reellen Zahlen als Denitionsmenge.
\item Die Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{x}$ hat die Menge aller reellen Zahlen als Wertemenge.
\item Alle Funktionen $f$ mit $f(x) = a^x$ (mit $a > 0$) sind streng monoton wachsend.
\item Der Graph der Funktion $f$ mit $f(x) = x^n$ ($n \in \mathbb{N}$) ist achsensymmetrisch zur $y$-Achse.
\item Die Denitionsmenge der Funktion $f$ mit $f(x) = \sqrt{x+5}$ ist die Menge aller reellen Zahlen, die größer als $5$ sind.
\item Die Maximalstellen der Funktion $f$ mit $f(x) = \sin(x)$ sind Wendestellen der Funktion $g$ mit $g(x) = \cos(x)$.
\end{enumerate}

\item 
Wie verhält sich die Funktion $f$ mit 
\begin{enumerate}
\item  $f(x) =\frac{2}{2+x}$ für $x \rightarrow + \infty$
\item  $f(x) =\frac{2x}{2+x}$ für $x \rightarrow + \infty$
\item  $f(x) = \frac{x}{x+1}$ für $x \rightarrow -1$
%\item  $f(x) =\frac{2x^2}{2+x}$ für $x \rightarrow + \infty$
%\item  $f(x) =\frac{2x^2}{2+x}$ für $x \rightarrow - \infty$
%\item $f(n) = (-0,5-)^n

\end{enumerate}

\item 
%\begin{enumerate}
Bestimmen Sie die Funktion $f$ mit $f(x) = a^x$, $a > 0$, deren Graph durch den Punkt $P(2|49)$ geht.


\item Gegeben ist der Graph einer Funktion $f$. Skizzieren Sie in dasselbe Koordinatensystem den Graphen der Ableitungsfunktion $f'$.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}

\begin{axis}[
grid,
width=.6\textwidth,
  axis x line=center,
  axis y line=center,
xlabel={$x$},
ylabel={$y$},
xmin=-6,
xmax=4,
ymin=-5,
ymax=5,
xtick distance = 2,
ytick distance = 2
]

\addplot[black, domain=-6:4,samples=50] {0.1*(x+4)*x*(x-2)};


\end{axis}

\end{tikzpicture}
\end{center}

\item Leiten sie ab!
\begin{enumerate}
\item $f(x) = \mathrm{e}^x$
\item $f(x) = \sqrt{x}$
\item $f(x) = \sin(x)$
\item $f(x) = \cos(x)$
\item $f(x) = \ln(x)$
\item $f(x) = x^3 - 6x + 1$
\item $f(x) = x \cdot  \mathrm{e}^{2x}$

\end{enumerate}

\item Bestimmen Sie die Stammfunktion und wenn gefragt das Integral.
\begin{enumerate}
\item $f(x) =\frac{2}{x^2}$
\item $f(x) = 2 \mathrm{e}^{- 2x}$
\item $\int_{-1}^2(2x^3+1) \mathrm{d}x$
\item $\int_0^\frac{\pi}{2}(1+\cos(2x)) \mathrm{d}x$
\end{enumerate}

\item Schraffieren Sie in einem Koordinatensystem den Bereich, der durch die Ungleichung $|x - y| < 1$ gegeben ist.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}

\begin{axis}[
grid,
width=.6\textwidth,
  axis x line=center,
  axis y line=center,
xlabel={$x$},
ylabel={$y$},
xmin=-3,
xmax=3,
ymin=-3,
ymax=3,
xtick distance = 1,
ytick distance = 1
]
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{center}


\item Seien $P$, $Q$, $R$ und $S$ Punkte. Vereinfachen Sie:
\begin{enumerate}
\item $\overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{QR}$
\item $\overrightarrow{PQ} - \overrightarrow{RQ}$
\item  $\overrightarrow{PQ} - (\overrightarrow{PQ} - \overrightarrow{QR})+ \overrightarrow{RS}$
\item $
\begin{pmatrix}
2\\1\\-3
\end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix}
3\\2\\1
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
1\\2\\-5
\end{pmatrix}
$
\item 
$
2
\begin{pmatrix}
-1\\4\\2
\end{pmatrix}
-3
\begin{pmatrix}
1\\6\\-2
\end{pmatrix}
$
\end{enumerate}
\end{enumerate}




%\parskip=0pt
\noindent
%\textcolor[gray]{0.6}{\LARGE{Römerquiz}\hfill}%height=1cm
%\hrule

\newpage
\section{Statistische Daten}
\begin{description}
   \item[Frage 1] Schulform
   \begin{multicols}{2}
      \begin{itemize}[label={\Square}]
         \item Gymnasium
         \item Abendschule
         \item Berufsschule
         \item Sonstiges:  \fbox{\parbox[c]{2cm}{ \hspace{4cm}  } }
      \end{itemize}
   \end{multicols}

   \item[Frage 2] Hochschulzugangsberechtigung
   \begin{multicols}{2}
      \begin{itemize}[label={\Square}]
         \item Abitur
         \item Fachabitur
         \item Sonstiges:   \fbox{\parbox[c]{2cm}{ \hspace{4cm}  } }
      \end{itemize}
   \end{multicols}
   
   \item[Frage 3] Bundesland
   \begin{multicols}{2}
      \begin{itemize}[label={\Square}]
      \item  \underline{\hspace{10cm }}
      \end{itemize}
   \end{multicols}
   
   \item[Frage 4] G8 oder G9
   \begin{multicols}{2}
      \begin{itemize}[label={\Square}]
         \item G8
         \item G9
         \item Sonstiges
      \end{itemize}
   \end{multicols}

   \item[Frage 5] GK oder LK 
   \begin{multicols}{2}
      \begin{itemize}[label={\Square}]
         \item GK
         \item LK
         \item Sonstiges: \fbox{\parbox[c]{2cm}{ \hspace{4cm}  } }
      \end{itemize}
   \end{multicols}
   
      \item[Frage 6] Zeit seit der Erlangung des Abiturs
   \begin{multicols}{2}
      \begin{itemize}[label={\Square}]
         \item unter 1 Jahr
         \item unter 2 Jahre
         \item unter 5 Jahre
         \item länger als 5 Jahre
      \end{itemize}
   \end{multicols}

         \item[Frage 7] Studiengang
   \begin{multicols}{2}
      \begin{itemize}[label={\Square}]
         \item Physik
         \item Lehramt 
         \item 2-Fach Bachelor (nicht Lehramt)
         \item Sonstiges: \fbox{\parbox[c]{2cm}{ \hspace{4cm}  } }
      \end{itemize}
   \end{multicols}

         \item[Frage 8 ]: Freiwillig: Geschlecht, Alter, Abiturnote
   \begin{multicols}{2}
      \begin{itemize}[label={\Square}]
         \item Geschlecht: \fbox{\parbox[c]{2cm}{ \hspace{4cm}  } }
         \item Alter: \fbox{\parbox[c]{2cm}{ \hspace{4cm}  } }
         \item Abiturnote: \fbox{\parbox[c]{2cm}{ \hspace{4cm}  } }
      \end{itemize}
   \end{multicols}

\end{description}
\end{document}